100 Maiores Matemáticos da Historia da Humanidade

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100 Maiores Matemáticos da Historia da Humanidade


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Em 1900, todo o conhecimento matemático caberia em cerca de 1.000 livros para conter toda a matemática conhecida

Hoje em dia seriam necessários talvez 100.000 livros para conter toda a matemática conhecida


O desenvolvimento da Matemática foi fundamental para o desenvolvimento da Física, Química e Engenharia, que culminou com todo o progresso industrial e tecnológico dos últimos séculos.

Durante milhares de anos, a Matemática evoluiu muito pouco, até que ocorreu o divisor de águas: o fim da idade media e inicio da idade moderna na Europa. No século 17, o físico e matemático britânico Isacc Newton e o matemático alemão Leibniz criaram de forma independente o Calculo Diferencial e Integral, que evoluiu ao longo dos séculos com o trabalho de outros matemáticos


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Nos séculos seguintes, a Matemática sofreu um brutal avanço, sendo que a grande maioria dos maiores matemáticos da historia viveu nos últimos 400 anos. A maioria esmagadora do conhecimento matemático foi criado nos últimos 400 anos.

Uma das áreas mais famosas da matemática, a Álgebra, sofreu um grande avanço nos últimos séculos.


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Os números complexos foram criados no século 16. Grande parte da notação e símbolos usada na Matemática foi criada pelo matemático suíço Leonhard Euler. Carl F. Gauss foi o maior matemático do seu tempo.

Todos os gênios da Matemática tinham em comum o grande interesse pela Física e também fizeram muitas contribuições para essa ciência. Muitos matemáticos eram também físicos, químicos ou engenheiros.




Algumas importantes teorias e áreas da matemática com grande aplicação pratica foram desenvolvidas nos séculos 19 e 19:


> Séculos 18 e 19: Geometria Diferencial (estudo da geometria usando o Calculo Diferencial Integral e Álgebra Linear), usada na Teoria da Relatividade


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> Final do Século 19 e inicio do Século 20: O engenheiro americano J. Willard Gibbs, o engenheiro eletricista britânico Oliver Heaviside e o matemático americano Edwin Bidwell Wilson deram inicio ao desenvolvimento do Calculo Diferencial Integral Vetorial, muito usado na Física e Engenharia





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Sabe-se que a espécie humana já conhece os números abstratos há cerca de 8.000 anos


A matemática formal, simbólica, com equações, teoremas e provas, tem pouco mais de 2.500 anos. O cálculo infinitesimal foi desenvolvido no século 17. Os números negativos passaram a ser usados comumente no século 18, e a álgebra abstrata moderna, em que símbolos como x, y e z denotam entidades arbitrárias, tem apenas 150 anos.

Em particular, a razão mais comumente apresentada para a evolução da linguagem é que ela foi impulsionada pela necessidade de uma comunicação maior - que a comunicação era seu objetivo original, se quisermos. Até cerca de 500 a .C, a matemática era realmente algo que tratava de números. Já, no antigo Egito, Babilônia e China, consistia quase que inteiramente em aritmética.Entre 500 a . C e 300 a .C expandiu-se além do estudo dos números. Os matemáticos da antiga Grécia se preocupavam mais com a geometria. Foi somente com os gregos que essa disciplina realmente passou de um conjunto de técnicas para se medir, contar e calcular, para uma disciplina acadêmica, que tinha tanto elementos estéticos quanto religiosos.

Depois dos Gregos, embora a matemática progredisse em diversas partes do mundo - notavelmente na Arábia e na China-, sua natureza não mudou até meados do século 17, quando sir Isaac Newton (na Inglaterra) e Gottfried Wilhelm Leibniz (na Alemanha) inventaram, independentemente, o cálculo infinitesimal. Ao final do século 19, ela havia se transformado no estudo dos números, forma, movimento, espaço e das ferramentas matemáticas que são usadas nesse estudo. Foi esse o início da matemática moderna.

O crescimento da atividade matemática no século 20 pode ser mais bem descrito como uma explosão de conhecimento.

Em 1900, todo o conhecimento matemático caberia em cerca de 1.000 livros para conter toda a matemática conhecida. Hoje em dia seriam necessários talvez 100.000 livros para conter toda a matemática conhecida.


Fonte: O Gene da Matematica - Devlin, Keith; 349 páginas
Resumo: [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]



Alguns Matemáticos Gênios que viveram nos últimos 4 séculos



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Concedida de 4 em 4 anos a matemáticos com menos de 40 anos de idade, a Fields Medal é o premio Nobel da Matemática

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Bernhard Riemann

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O matemático alemão Bernhard Riemann deu varias contribuições a geometria diferencial e foi o pai da geometria elíptica (uma das geometrias não euclidianas ou geometria de superfícies curvas, a outra á a geometria hiperbólica).

A geometria diferencial e a geometria elíptica é usada na teoria da relatividade, já que o espaço-tempo é curvo.


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Henri Poincaré

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Considerado o ultimo matemático generalista, o francês Henri Poincaré deu inúmeras contribuições em vários campos da matemática, física e engenharia: óptica, eletricidade, telegrafia, capilaridade, elasticidade, termodinâmica, mecânica quântica, teoria da relatividade e cosmologia.

Foi o precursor (junto com o físico holandês Hendrik Lorentz) da teoria de relatividade.

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David Hilbert


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O alemão David Hilbert foi um dos mais influentes matemáticos do Século 19 e 20. Criou teorias em varios campos da matemática.

Criou teorias usadas na mecânica quântica (Hilbert Space) e teoria da relatividade. Hilbert criou uma lista de 23 problemas matemáticos para serem resolvidos:


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John von Neumann


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Um dos mais brilhantes matemáticos da historia, foi o matemático chefe no projeto da bomba atômica (realizou calculos fundamentais para o mecanismo de implosão) e deu várias contribuições para a mecânica quântica, estatística, teoria dos jogos e ciência da computação, tendo aperfeiçoado o computador a válvula ENIAC

Com 20 e poucos anos, a fama de gênio de von Neumann já corria o mundo



Neumann János Lajos (ou John von Neumann, depois de anglicanizar o seu nome) foi um matemático nascido em Budapeste, no império Austro-Húngaro, a vinte e oito de Dezembro de 1903, no seio de uma rica família judaica, filho de Kann Margit (Margaret Kann) e de Neumann Miksa (Max Neumann), um advogado que trabalhava num banco. Budapeste era uma capital intelectual em expansão, e diz-se que a cidade “Estava quase a produzir uma das suas mais brilhantes gerações de cientistas, escritores, artistas, músicos e úteis milionários expatriados a virem de uma pequena comunidade desde as cidades-estado da Renascença Italiana.[2]”

O pequeno Jancsi (diminutivo para János) teve uma educação elitista e cedo se notou que era um prodígio:

“Aos seis anos, conseguia trocar piadas com o pai em grego clássico. A família Neumann por vezes entretinha os seus convidados com demonstrações da habilidade do Johnny para memorizar agendas telefónicas. Um convidado escolheria uma página e coluna aleatórias da agenda. O pequeno Johnny lia a coluna algumas vezes e devolvia a agenda ao convidado. Podia então responder a qualquer questão que lhe colocassem (quem era o número tal e tal?) ou recitar nomes, endereços e números por ordem.[3]”

Conseguia dividir de cabeça algarismos de oito dígitos, aos oito anos tinha lido os quarenta e quatro volumes da História Universal e trivializado o cálculo e aos 12 tinha lido e entendido o livro Théorie des Fonctions, de Borel. A distinção de von (Margittai, em Húngaro) entra na família em 1913, quando o seu pai foi recompensado pelo seu serviço ao império Austro-Húngaro, tendo Neumann János mudado o seu nome para János von Neumann e posteriormente para o correspondente alemão Johann von Neumann.

Em 1911, com oito anos, entrou no Lutheran Gymnasium, uma das três melhores instituições de Budapeste na altura. Em 1921 os pais mandam-no para a Universidade de Berlim, para estudar engenharia química, e dois anos depois, vai para Zurique. Apesar de von Neumann ter pouco interesse em engenharia química, esta era uma carreira popular que garantia um bom nível de vida (ao qual von Neumann estava habituado), um pouco devido ao sucesso dos químicos alemães entre 1914 e 1918, pelo que o seu pai o encorajou a segui-la. Esteve assim dois anos em Berlim num programa de química, onde assiste também a um curso de física (que incluía física estatística), dado por Albert Einstein; posteriormente fez o exame para entrar no segundo ano de engenharia química no prestigiado Eidgennossische Technische Hochschule (ETH) em Zurique - no qual Einstein não tinha conseguido entrar numa primeira tentativa, em 1895, mas sim no ano seguinte.

Durante este tempo de estudo, von Neumann tinha traçado outro plano que estava mais de acordo com os seus interesses. Entre o fim dos seus estudos em Berlim e antes da ida para Zurique, entrou na Universidade de Budapeste como candidato para um doutoramento em matemática. A sua tese de doutoramento foi uma tentativa de axiomatizar a teoria dos conjuntos, desenvolvida por Georg Cantor, que era um assunto em voga na altura, já tendo sido estudado por vários professores, causando algumas dores de cabeça à maioria. Von Neumann fez assim o curso de engenharia química no ETH e, simultaneamente, o seu doutoramento em matemática em Budapeste, tendo obtido notas máximas mesmo em disciplinas às quais quase nunca assistia. Depois de acabar a sua tese, logo após obter a licenciatura pelo ETH, passou nos exames finais com distinção.

Por essa altura, conhece David Hilbert, um matemático que viria a ter grande influência no seu trabalho. G. Polya admitiu, a propósito da velocidade de raciocínio de von Neumann, que ele era “O único aluno de quem alguma vez teve medo. Se no decorrer de uma aula falasse de um problema por resolver, o mais provável era que ele viesse ter comigo no final, com a solução completa escrita em alguns rabiscos num bocado de papel.[4]”

Em 1926 tornou-se então no mais novo Privatdozent na história da Universidade de Berlim, tendo aí leccionado até 1929, e depois em Hamburgo de 1929 a 1930, altura em que emigrou para os Estados Unidos com a sua mãe e irmãos. Por esta altura, von Neumann tinha atingido o estatuto de celebridade, como Poundstone constata em:[3]

“Aos vinte e poucos anos, a fama de von Neumann tinha-se espalhado mundialmente na comunidade matemática. Em conferências académicas, ele ver-se-ia apontado como um jovem génio”.

Uma vez nos EUA, mudou Johann para John mas manteve o apelido aristocrático austríaco von Neumann, ao passo que os seus irmãos adoptaram os apelidos Vonneumann e Neumann (usando apenas o título de von para certas cerimónias).

Também por essa altura se converte ao Catolicismo de modo a poder casar com Marriette Kövesi. Tinha uma memória prodigiosa, lembrando-se de tudo quanto tinha aprendido, sendo, por exemplo, um perito em história Bizantina, e sabendo detalhes do julgamento de Joana d’Arc ou de batalhas da guerra civil americana. Sobre a lista telefónica de Manhattan, disse uma vez que sabia todos os números de lá, mas que para poder dispensar a lista, só precisava de saber a que nome é que cada número correspondia. Era profundamente hedonista, gostava de comer e beber bem, levava um estilo de vida extravagante, promovendo grandes festas que terminavam muito tarde: “Festas e vida nocturna produziam um apelo especial para von Neumann. Enquanto ensinava na Alemanha, von Neumann tinha sido um habitué do circuito de vida noctura de Berlim na era do Cabaret.[3]"

“As festas em casa de von Neumann eram frequentes, famosas, e longas.[4]"

Conduzia de maneira perigosa (a ler um livro, por exemplo) o que frequentemente resultava em acidente. Certo dia relatou o acidente da seguinte maneira: “As árvores à direita estavam a passar por mim de uma maneira ordenada, a 60 milhas por hora. De repente, uma delas atravessou-se no meu caminho!”

Também não se inibia de contar piadas insensíveis nem de olhar persistentemente para as pernas de mulheres jovens, tendo as secretárias em Los Alamos chegado ao ponto de tapar os lados das suas mesas com cartolinas.

Ainda em 1930, von Neumann foi convidado para Princeton e em 1933 foi, juntamente com Albert Einstein, Kurt Gödel, J.W. Alexander, M. Morse, O. Veblen e H. Weyl, seleccionado para a primeira faculdade de matemática do Institute for Advanced Study, onde foi professor até à data da sua morte, tendo-se-lhes juntado outros notáveis cientistas e matemáticos como Enrico Fermi e Wigner.

Como Ulam constata, o ensino não era o seu ponto forte: “A sua linha de raciocínio fluida era difícil de seguir para aqueles menos dotados. Ele destacava-se por escrevinhar equações num pequeno espaço livre do quadro e por apagar expressões antes que os alunos as pudessem copiar.[3]" Apesar disto, era-lhe fácil explicar ideias complexas: “Para um homem para quem matemáticas complicadas não apresentavam dificuldade, ele podia explicar as suas conclusões aos não-iniciados com lucidez surpreendente. Depois de uma conversa com ele, uma pessoa tinha sempre a sensação que o problema era simples e transparente.[5]”

Em 1937 divorciou-se de Marriette Kövesi, para, no ano seguinte, se casar com Klara Dan. Esta, sobre os seus hábitos de trabalho disse que “ele escrevia sempre em casa, durante a noite ou ao amanhecer. A sua capacidade de trabalho era praticamente ilimitada.” Segundo Halmos em [1], von Neumann era um trabalhador incansável, chegando cedo ao seu gabinete, saindo tarde e nunca perdendo tempo. Era também muito sistemático e meticuloso. Por exemplo, ao ler um manuscrito, ele anotaria na primeira página os números das páginas em que encontrara erros, e depois o número de erros de cada página. Ainda sobre o método de trabalho de von Neumann, Halmos salienta a coragem matemática: “…enquanto que alguns matemáticos, se na procura de um contra-exemplo encontrassem uma série infinita com muitas exponenciais de expoentes quadráticos, prefeririam recomeçar e procurar outro contra-exemplo, von Neumann diria “ah, sim… uma função teta…” e mergulharia nas contas. Não tinha medo de nada.[4]"

Em 1956 foi-lhe diagnosticado cancro ósseo ou pancreático, possivelmente contraído devido a exposição à radioactividade enquanto observava os testes da bomba atómica no Oceano Pacífico ou num trabalho posterior sobre armas nucleares em Los Alamos. O cancro evoluiu para o cérebro, impedindo qualquer actividade mental.

“Quando von Neumann percebeu que estava incuravelmente doente, a sua lógica forçou-o a perceber que ia cessar de existir, e por conseguinte, de ter pensamentos… Destroçava o coração ver a frustração da sua mente, quando toda a esperança se foi, na sua luta contra o destino que parecia ser inevitável mas inaceitável. O sentido de invulnerabilidade de von Neumann, ou simplesmente o desejo de viver, estava a debater-se contra factos inalteráveis. Ele parecia ter um grande medo da morte até ao fim… Nenhum sucesso e nenhuma quantidade de influência o podiam salvar agora, como sempre tinham feito no passado. Johnny von Neumann, que tinha sabido como viver intensamente, não sabia como morrer.[4]

“… a sua mente, o amuleto no qual sempre tinha podido confiar, estava-se a tornar menos confiante. Então veio a quebra psicológica completa; pânico, gritos de terror incontrolável todas as noites. O seu amigo Edward Teller disse, “Acho que von Neumann sofreu mais quando a sua mente deixou de funcionar do que alguma vez vi um ser humano sofrer.[6]”

Morreu sob segurança militar (uma maneira de impedir que revelasse quaisquer segredos militares enquanto estava fortemente medicado), a 8 de Fevereiro de 1957.


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Três gênios que participaram do projeto da bomba atômica e da bomba de hidrogênio

O matemático húngaro von Neumann, o físico americano Richard Feynman e matemático polonês Stanislaw Ulam



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Von Neumann deu varias contribuições a ciência da computação

Na foto, Von Neumann no primeiro instituto de computação da historia


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No dia 23 de junho de 1993, após 7 anos de muito estudo e trabalho árduo, o matemático britânico Sir Andrew Wiles entrou para a historia ao anunciar a solução do maior enigma e desafio matemático de todos os tempos e que durou 358 anos:

O Último Teorema de Fermat


Em 1637 o matemático francês Pierre de Fermat formulou a teorema de Fermat:

A equação x^n + y^n = z^n não tem soluções com números inteiros quando n é maior do que 2. Quando n é igual a 2 (teorema de pitágoras) existe solução: exemplo 3² + 4² = 5²

O nome correto deveria ser conjectura de Fermat, já que Fermat não deixou nenhuma demonstração por escrito, apenas disse ter feito.

Durante mais de 350 anos, vários matemáticos tentaram demonstrar o teorema e fracassaram e outros sequer tentaram, já prevendo o iminente fracasso. Muitas teorias matemáticas foram criadas na tentativa de demonstrar o teorema de Fermat.

O matemático britânico Andrew Wiles estudou na Universidade de Cambridge com o grande especialista em teoria dos números, John Coates e depois foi para o Instituto de Estudos Avançados, da Universidade de Princeton.

Em maio de 1993, após 7 anos de intensa dedicação e trabalho árduo, Andrew Wiles, na conferência de Matemática na cidade de Cambridge (sua terra natal) no instituto Isaac Newton, anunciou a demonstração do Teorema de Fermat.

A demonstração tinha um erro e Andrew Wiles passou mais 14 meses revisando e corrigindo o erro (com a ajuda de outro matemático de Cambridge, Richard Taylor), até que finalmente em de 1994 (no dia do aniversario da sua esposa), Andrew Wiles entrou para historia ao anunciar a demonstração corrigida do teorema de Fermat.

A demonstração foi feita com base em teorias desenvolvidas por outros matemáticos como Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre, Ken Ribet, Taniyama, Shimura, etc e envolve vários áreas da matemática como geometria algébrica, álgebra abstrata, teoria dos números.

A demonstração tem mais de 100 paginas :horror: e é tão técnica e complexa que na época poucos matemáticos especialistas em teoria dos números conseguiram entende-la.

A demonstração do teorema de Fermat usa teorias avançadas da Matemática que não existiam na época de Fermat e muitos matemáticos afirmam que Fermat na verdade nunca realizou tal demonstração.



A odisséia para demonstrar o teorema de Fermat é narrada de forma emocionante no livro:



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Sir Andrew Wiles imediatamente após anunciar a demonstração do Teorema de Fermat na conferência de Matemática na cidade de Cambridge, no instituto Isaac Newton, no dia 23 de junho de 1993
[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]The man who proved Fermat's Last Theorem. Professor Andrew Wiles FRS (b.1953), British mathematician, after presenting a proof of the Taniyama-Shimura Conjecture during a lecture on 23 June 1993. This proof, that every elliptic curve is associated with a modular form, is a profound part of number theory which he had been studying for seven years. A direct consequence of this proof is the proof of Fermat's Last Theorem. Despite its apparent simplicity, Fermat's Theorem had confounded mathematicians for 300 years - Fermat claimed his own proof was too large for the margin of the book he was annotating, so never published.




Sir Andrew John Wiles



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O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT



Pierre de Fermat

Pierre de Fermat nasceu dia 20 de agosto de 1601, na cidade de Beaumont-de-Lomagne, no sudoeste da França. Seu pai era um homem rico, sendo assim, Fermat teve uma educação privilegiada. Devido à pressão de sua família, Fermat seguiu carreira pública, foi um Juiz francês que nasceu e viveu em Toulouse, França, possuía uma cultura universal que na época cultivava a poesia, filosofia grega, direito e principalmente Matemática.

Nas cartas que Fermat escrevia os enunciados de seus teoremas, não colocava suas demonstrações, sendo assim desafiava seus contemporâneos a encontrar a prova de seu teorema. E de fato, ele nunca revelava suas próprias provas. Gostava de propor problemas do tipo desafio, para outros matemáticos, pois dedicava todo seu tempo livre à matemática, sendo seu hobby, sendo assim foi considerado pelos matemáticos um estudioso amador e também juntamente com Descartes um dos criadores da Geometria Analítica, onde suas idéias sobre métodos das tangentes contêm as raízes do Cálculo Diferencial.

É difícil encontrar publicação de Fermat, pois raramente ele se encontrou pessoalmente com grandes matemáticos de sua época. Suas comunicações estavam em suas cartas que era enviada pelo padre Marin Mersenne, e seu amigo Pierre de Carcavy, que circulavam seus manuscritos.

Estes manuscritos foram selecionados e transformados em forma de um livro, por seu filho Samuel. Grande parte de seus trabalhos e problemas foram resolvidos nos 200 anos seguintes à sua morte.



O Nascimento de um Enigma




Fermat dedicava boa parte do seu tempo de lazer à matemática, mas não há registro de que tenha adquirido interesse pela matemática sendo influenciado por algum autor, mas simplesmente uma cópia de aritmética que se tornou seu mestre.

A aritmética tentava descrever a teoria dos números, como no tempo de Diofante, através de uma série de problemas e soluções, ou seja, em um único livro de Diofante, Fermat podia encontrar todo conhecimento dos números obtido por Pitágoras e Euclides.

A teoria dos números desde o incêndio em Alexandria, não tinha mais progredido, então Fermat estava pronto para retomar o estudo sobre a teoria dos números.

Fermat estudava a Aritmética que continha mais de cem problemas com suas respectivas soluções, mas ele não se interessa nelas, mas sim em escrever novos problemas, com novas descobertas. Uma de suas descobertas foram os “números amigos”.

Enquanto Fermat estudava o Livro II de Aritmética, encontrou problemas e soluções relacionados ao Teorema de Pitágoras e os Trios Pitagóricos e ficou impressionado. Ele começou a analisar o teorema de Pitágoras, tentando descobrir alguma coisa que tivesse passado despercebido pelos gregos.

Num certo instante, ele criou uma equação muito semelhante ao teorema de Pitágoras, que por sua vez, não tinha solução.

No lugar de considerar a equação de Pitágoras:

X² + y² = z²

Fermat contemplava uma variante da criação de Pitágoras:

x³ + y³ = z³

Fermat nesta equação tinha apenas mudado as potências, mas sua nova equação aparentemente não tinha solução para qualquer número inteiro. Então ele alterou ainda mais a equação, trocando as potências para números maiores do que três, mas a solução para mesma era difícil.

Para Fermat parecia não existir um trio de números que se encaixasse perfeitamente na equação:
x^n + y^n = z^n , onde n representa números 3,4,5...

Fermat afirmava que em parte alguma do infinito universo dos números existia um “trio fermatiano”, que solucionasse o problema. Era uma firmação extraordinária, onde Fermat afirmava que podia prová-la, mas não deixou a solução. Em um comentário a margem do livro ele diz: “Eu tenho uma demonstração realmente maravilhosa para esta proposição, mas esta margem é muito estreita para conte-la”.

Fermat nunca falou a ninguém sobre sua prova, sendo assim seu teorema foi chamado mais tarde de “O Último Teorema de Fermat”, que se tornou famoso no mundo inteiro.

O Último Teorema de Fermat foi considerado um enigma por que levou séculos para ser provado. A fama deste enigma se espalhou pelo mundo todo, especialmente entre os matemáticos, levando alguns a direcionar todas suas pesquisas para resolvê-lo.

Foi na biblioteca da Rua Milton, que um menino de dez anos, Andrew Wiles, viu esta equação:

No lugar de considerar a equação de Pitágoras:

x² + y² = z²

Fermat contemplava uma variante da criação de Pitágoras (com n inteiro maior que 2):

x^n + y^n = z^n

O menino ficou encantado com está afirmação e resolveu estudá-la.


Andrew Wiles



Andrew Wiles nasceu em 1954 na Inglaterra, estudou matemática em Cambridge com um grande especialista em teoria de números, John Coates. Após isso, veio para Harvard onde passou dois anos e resolveu dois problemas em aberto sobre teoria dos números. Foi professor em Princeton.

Em 1963, quando tinha dez anos, já era fascinado pela matemática, adorava resolver problemas na escola, levava-os para casa e criava outros, mas os melhores problemas encontrava na biblioteca local.

Um dia quando voltava para casa decidiu passar na biblioteca da Rua Milton, uma pequena biblioteca, mas tinha uma boa coleção de livros sobre enigmas, neste dia Andrew foi atraído por um livro que tinha apenas um problema, mas sem solução.

O livro era “O Último Problema”, de Eric Temple Bell, onde apresentava a história de um problema matemático de origem grega, mas só atingiria sua maturidade no século XVII, quando Fermat o colocara como desafio, e que durante trezentos anos nenhum matemático tinha conseguido a solução. Além do problema, o livro continha a tentativa de vários matemáticos em solucioná-lo.


Os Matemáticos que Contribuíram na Resolução do Último Teorema de Fermat




Durante os séculos XVIII, XIX e início do século XX, vários matemáticos brilhantes tentaram solucionar o Último Teorema de Fermat, embora esses esforços tenham terminado em fracasso, eles levaram à criação do maravilhoso arsenal de ferramentas e técnicas matemáticas que foram vitais para as últimas tentativas de se conseguir uma demonstração.


Euler


Quem fez o primeiro avanço em direção à prova do Último Teorema de Fermat, foi Euler, com sua memória e intuição incríveis. Sobre ele, Fraçois Arago disse: “Euler calcula sem qualquer esforço aparente, como os homens respiram e as águias se sustentam nos ventos”.

Leonard Euler nasceu em Basiléia, em 1707, filho de um pastor calvinista que, apesar do talento prodigioso demonstrado pelo filho para a matemática, determinou que seu filho estudasse teologia. Felizmente, a Basiléia era também o lar dos Bernoulli, que eram muito amigos de Euler, e intercederam por ele junto a seu pai, que também havia estudado matemática junto ao patriarca da família Bernoulli, e acabou aceitando que o filho tinha nascido para calcular e não para pregar.

Nesta época as potências européias estavam interessadas somente no uso da matemática para a solução de problemas práticos, o que não prejudicou Euler em sua habilidade matemática e lhe deu a reputação de ser capaz de resolver qualquer problema.

Ao deparar-se com o Último Teorema de Fermat, Euler imaginou se não poderia provar que uma das equações não tinha solução e então extrapolar o resultado para todas as infinitas equações restantes. Inicialmente, Euler provou o caso por contradição para n=3 (Supondo que o teorema fosse verdadeiro para n=3, chegou a uma contradição), no entanto não teve sucesso para outros casos.



Sophie Germain




Para realizar suas pesquisas Sophie foi obrigada a assumir uma identidade falsa, estudar sob condições terríveis e trabalhar em isolamento intelectual. Seu interesse pela matemática iniciou ao se deparar com a história de Arquimedes, que envolvido em um problema de geometria não respondeu a pergunta de um soldado romano que, por isso, lhe tirou a vida. Ora, se alguém podia envolver-se de tal forma com a matemática a ponto de perder a vida, este deveria ser o assunto mais interessante a ser estudado, pensou Sophie, e logo estava dormindo tarde para estudar os trabalhos de Euler e Newton. Para impedir os estudos da filha, o pai de Germain escondeu seus agasalhos e suas velas, mas ela reagiu mantendo um estoque secreto de velas e se enrolando nas roupas de cama. Mais tarde seus pais aceitaram o fato e deram seu apoio aos estudos da filha. Germain nunca se casou, sendo seu pai quem lhe financiava os estudos. Sempre estudou sozinha pois seus professores não lhe levavam a sério.

Mais tarde Germain passou a usar a identidade de um ex-aluno da École Polytechnique, e receber assim as aulas e problemas que eram destinados a Monsieur Antonie-August Lê Blanc. Seu bom desempenho na resolução dos problemas passou a chamar atenção do supervisor do curso, Joseph-Louis Lagrange, que solicitou um encontro, quando Germain teve que revelar sua verdadeira identidade. Passou então a ser reconhecida e incentivada em seus estudos.

Sophie trabalhou com o Último Teorema de Fermat durante muitos anos, quando acreditou ter feito uma descoberta importante e precisava debater suas idéias, foi direto consultar o maior teórico dos números de todo o mundo, o matemático Carl Friedrich Gauss, que nunca publicou nada sobre o teorema, apenas manifestou-se em uma carta a um amigo dizendo: “Fico-lhe muito grato pela noticia referente ao prêmio de Paris. Mas confesso que o Último Teorema de Fermat, como uma proposição isolada, tem muito pouco interesse para min. Eu poderia facilmente apresentar uma série de proposições semelhantes que ninguém poderia provar ou desmentir.” Alguns historiadores suspeitam que seu descaso pelo problema seja conseqüência de uma tentativa fracassada de conseguir algum progresso na solução. Nesta carta Sophie voltou a usar seu pseudônimo, temendo que Gauss não a levasse a sério por ser uma mulher.

Após a publicação de Euler 75 anos se passaram sem que houvesse progresso, Germain, contudo, adotar uma nova estratégia chamada abordagem geral para o problema, em outras palavras, seu objetivo imediato não era provar um caso particular, mas sim dizer algo sobre muitos casos de uma só vez, tomando como base um tipo especial de número primo, e acabou demonstrando que para aqueles valores particulares de n não havia solução. Mais tarde, alguns estudiosos, baseados no trabalho de Germain conseguiram demonstrar o teorema para n = 5 e n = 7.




Gabriel Lamé e Augustin Louis Cauchy



Tanto Gabriel Lamé como Augustin Louis Cauchy anunciaram em março de 1847 que estavam prestes a publicar a demonstração completa para o Último Teorema de Fermat, assim, três semanas depois, ambos depositaram envelopes lacrados no cofre da Academia Francesa de Ciências, que depois das descobertas de Sophie Germain passou a oferecer uma medalha de ouro e três mil francos ao matemático que finalmente demonstrasse o teorema. O depósito dos envelopes era comum naquela época, o que permitia aos matemáticos fazerem um registro sem revelar os detalhes exatos de seu trabalho, se mais tarde surgisse uma disputa quanto à originalidade das idéias, os envelopes lacrados ofereceriam a evidência necessária para estabelecer a prioridade.

No entanto, antes que qualquer um dos dois publicasse a demonstração tão esperada, Ernest Kummer percebeu que ambos se encaminhavam para o mesmo beco sem saída, usavam a fatoração única, verdadeira dentro dos reais, porém trabalhavam dentro dos imaginários.



Paul Wolfskehl



Paul Wolfskehl não fez nenhuma grande contribuição, mas sua história está intimamente ligada ao problema. Paul estava desiludido amorosamente e planejou se suicidar, em determinado dia, exatamente a meia-noite, no entanto, muito antes da hora marcada já estava com tudo pronto, para ocupar-se até o horário marcado, tomou um livro, pois era fascinado por problemas, e logo se deparou com o Último Teorema de Fermat, e examinando os trabalhos de Lamé, Cauchy e Kummer, deixou-se levar e perdeu o horário marcado para o suicídio. Wolfskehl acreditava ter achado um erro no trabalho de Kummer, que, se fosse de fato um erro, não invalidaria o trabalho de Lamé e Cauchy.

Infelizmente, para a matemática, o trabalho de Kummer estava correto, no entanto Wolfskehl reescreveu seu testamento deixando parte de sua fortuna para quem demonstrasse o Último Teorema de Fermat.

Iniciou-se então uma época em que muitos matemáticos tentaram resolver o problema, pois além do prestígio por resolvê-lo teriam uma recompensa em dinheiro.



Taniyama e Shimura


Yutaka Taniyama e Goro Shimura estudavam na Universidade de Tóquio, e seu primeiro contato foi através de cartas, Shimura necessitava de um livro da biblioteca para resolver um problema, que, para sua surpresa não estava lá, mas sim com, o até então desconhecido, Taniyama. Shimura escreveu-lhe então uma carta, explicando a situação, e recebeu como resposta um cartão-postal, onde Taniyama dizia que estava estudando o mesmo problema e encontrara a mesma dificuldade e sugeriu que os dois se encontrassem para trocar idéias sobre o problema em questão.

Assim começou a amizade entre esses dois grandes matemáticos: Taniyama, que durante a infância tivera seus estudos interrompidos várias vezes por doenças e pela guerra e Shimura, um ano mais novo que seu amigo, mas que também tivera seu estudo interrompido pela guerra, além de não poder trabalhar, Shimura precisou trabalhar durante a guerra, auxiliando na construção de partes de aviões. Á noite Shimura tentava recuperar seus estudos perdidos e assim sentiu-se mais atraído pela matemática do que pelas outras matérias. Shimura sempre fora mais conservador e tradicional, enquanto Taniyama era despreocupado a ponto de ser preguiçoso, uma característica invejada por seu colega Shimura que declarou: “Ele tinha a capacidade especial de cometer muitos erros a maioria na direção certa. Eu o invejava por isso e tentei imitá-lo em vão, mas descobri que era muito difícil cometer bons erros.”

Um dos assuntos que fascinava a ambos eram as formas modulares, que é caracterizada por seu nível excessivo de simetria (rotacional, reflexiva e translacional), podendo ser transformado de forma especial e depois disso continuar com a mesma imagem. Uma forma modular é estudada em um espaço quadridimensional, chamado de espaço hiperbólico, com dois eixos reais e dois imaginários. As formas modulares podem ter vários tamanhos e formas, mas cada uma é construída com os mesmos ingredientes básicos, o que diferencias cada forma modular é a dosagem de cada ingrediente contido nela. As informações a respeito de uma forma modular geram uma série modular, ou série M, uma receita com ingredientes e a quantidade necessária de cada um:

Série : M1 = 1
M2 = 3
M3 = 2
e assim por diante.

Assim como a série E é o DNA das equações elípticas, a série M é o DNA das formas modulares. Apesar disso, as equações elípticas e as formas modulares eram vistas em regiões completamente diferentes da matemática, contudo, Taniyama e Shimura iriam chocar a comunidade matemática sugerindo que as equações elípticas e as formas modulares eram na verdade uma coisa só. Taniyama examinou algumas formas modulares e em cada caso a série M parecia corresponder perfeitamente com a série E de uma equação elíptica.

Taniyama se suicidou em 17 de novembro de 1958, aos 31 anos de idade, na carta que deixou relatou que nem mesmo ele sabia ao certo o motivo de seu ato. Shimura prosseguiu no seu trabalho, tentando mostrar que de fato as equações elípticas e as formas modulares estavam intimamente ligadas. Mesmo não provando, esta conjectura passou a ser aceita e utilizada por muitos matemáticos para resolver outros problemas.

Gerhard Frey


Em um simpósio, para um seleto grupo, Gerhard Frey, embora não tivesse nenhuma nova idéia de como abordar a conjectura Taniyama-Shimura, fez uma afirmação extraordinária de que qualquer um que pudesse provar que a conjectura era verdadeira também demonstraria imediatamente o Último Teorema de Fermat.

Frey “transformou” a equação de Fermat em uma equação elíptica, usando uma solução geral. Se essa fosse de fato uma solução, sua série M não se constituiria em uma série modular, portanto, a conjectura Taniyama-Shimura cairia por terra. Por outro lado, se fosse provada a conjectura Taniyama-Shimura aquela não poderia ser uma solução para a equação de Fermat, e, assim, estaria provado que não existem soluções para a equação de Fermat e o Último Teorema de Fermat estaria provado.

Era necessário então, primeiramente, mostrar que a solução geral adotada, não se constituiria em uma série M. O que foi feito por Ken Ribert, inspirado por Barry Mazur durante um café. O Último Teorema de Fermat estava de fato intimamente ligado a conjectura Taniyama-Shimura, e agora poderia ser abordado por contradição.

Resolução do Último Teorema de Fermat - Andrew Wiles


Trinta anos depois de Andrew ter lido o relato de Bell, ainda se lembrava do que sentira ao ser apresentado ao Último Teorema de Fermat, onde parecia tão fácil, e no entanto ninguém tinha solucionado. Desde os dez anos Wiles acreditava que tinha que resolver o problema de Fermat: x^n + y^n = z^n

O problema é muito parecido com um teorema que já conhecemos dentro da matemática, o teorema de Pitágoras: x² + y² = z²

Três décadas tinham se passado desde que Andrew tinha encontrado o livro, onde o desafiara a encontrar a solução, mas quando soube dos resultados de Ribet, ele resolveu que poderia resolver O Último Teorema de Fermat.

Andrew Wiles decide se isolar por sete anos até apresentar uma solução ao problema, levou dezoito meses estudando os elementos matemáticos que foram usados, ou que derivam das equações elípticas e das formas modulares. Ele abandonou todos os trabalhos que não fossem relevantes para a demonstração do Último Teorema de Fermat, inclusive deixou de participar de conferências. Neste período Wiles resolveu trabalhar em completo isolamento e segredo na sua demonstração, a única pessoa que sabia de seu segredo era sua esposa.

Para demonstrar O último Teorema de Fermat Wiles tinha que provar a conjectura de Taniyama-Shimura, onde cada equação elíptica teria que ser relacionada com uma forma modular. Wiles utiliza os trabalhos de Évarist Galóis para demonstrar a conjectura, sendo uma brilhante demonstração.

Depois de seis anos de isolamento Wiles partilhara seu segredo com Katz, quando o mesmo o ajudou a analisar sua demonstração, num curso sobre curvas elípticas que Andrew ministrou na universidade de Princeton. Neste período do curso, Katz assistia as aulas para ver se tinha algum erro. Segundo o Katz não tinha nada a ser alterado e Wiles poderia publicar sua demonstração.

Depois de sete anos de estudo, Wiles tinha completado a demonstração da conjectura de Taniyama-Shimura, e como conseqüência, a demonstração do Último Teorema de Fermat, então poderia anunciar o mesmo.

Em maio de 1993 Wiles acreditava que estava provado o teorema, então no final do mês de junho em uma conferência na cidade de Cambridge (sua terra natal), no instituto Isaac Newton, anunciou sua demonstração.

Nesta conferência, Wiles realizou várias palestras até terminar sua demonstração, quando Wiles concluiu sua última palestra, sua demonstração tinha que ser submetida a um exame de avaliação, onde foram distribuídas partes da demonstração para que os matemáticos avaliassem.

Na parte que Katz tinha para analisar ocorreu um erro, então ele comunicou Wiles, mas em segredo do resto da comissão, para que Wiles a corrigisse. Ele tinha que corrigir o erro antes que a comunidade percebesse. Seis meses passados, Wiles ainda não tinha conseguido corrigir o erro, mas continuou persistindo. E disse a comunidade que precisava de mais tempo para aprontar seus manuscritos.

Como o tempo ia passando, Peter Sarnak sugeriu que Wiles conseguisse um auxiliar, então pensou em Richard Taylor um dos avaliadores e ex-aluno.

Wiles e Taylor dedicaram quatorze meses de trabalho, após Wiles ter anunciado a demonstração, para corrigir o erro, então a demonstração estava pronta.

Wiles presenteou o aniversário de sua esposa com a prova do Último Teorema de Fermat, pois foi ela a única que sabia de seu maior sonho.

Andrew Wiles levou oito anos de total estudo para demonstrar o Último Teorema de Fermat, publicado em 1995.


Conclusão

Pierre Fermat foi considerado um amador de Matemática, no século XVII, que dedicou seus estudos a teoria dos números.

Os matemáticos, hoje em dia, acham que Fermat se enganou e logo descobriu que sua prova estava errada. Pois, se estivesse correta, ele a teria enviado em suas cartas aos colegas, como costumava fazer. Aliás, é curioso notar que, em todo seu extenso trabalho matemático, Fermat apenas enunciava os teoremas, todos muito importantes, sem demonstrá-los.

O Teorema de Fermat é praticamente todo matemático, ilustre ou não, desde 1630 até hoje, gastou algum tempo tentando achar uma forma de demonstrá-lo, onde durante o período que teve várias tentativas para demonstrá-lo foram oferecidos vários prêmios por instituições, que a ter várias provas erradas.

Finalmente, em 1993, o matemático inglês Andrew Wiles apresentou uma demonstração que, aparentemente, resolvia o problema. Como previsto, essa demonstração era bastante complicada e não foi logo entendida pelos colegas. O próprio Wiles, logo após sua apresentação, descobriu falhas na demonstração e achou melhor retirá-la. Depois de trabalhar arduamente por mais um ano, em setembro de 1994, Wiles apresentou uma nova prova, mais simples que a primeira, que é considerada pela comunidade de matemáticos como correta.

Até que enfim, depois de mais de três séculos infernizando a vida dos matemáticos, o Último Teorema de Fermat foi vencido.

O Teorema de Fermat, sem nenhuma dúvida, foi o problema mais famoso da Matemática, desde que foi enunciado no século 17.

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Wiles has been awarded several major prizes in mathematics and science:




• Junior Whitehead Prize of the LMS (1988)
• Fellow of the Royal Society (1989)
• Schock Prize (1995)
• Fermat Prize (1995)
• Wolf Prize (1995/6)
• NAS Award in Mathematics from the National Academy of Sciences (1996)
• Royal Medal (1996)
• Ostrowski Prize (1996)
• Cole Prize (1997)
• Wolfskehl Prize (1997) – see Paul Wolfskehl
• A silver plaque from the International Mathematical Union (1998) recognizing his achievements, in place of the Fields Medal, which is restricted to those under 40 (Wiles was born in 1953 and proved the theorem in 1994)
• King Faisal Prize (1998)
• Clay Research Award (1999)
• Pythagoras Award (Croton, 2004)
• Shaw Prize (2005)


Sir Andrew Wiles at 61st Birthday conference for P. Deligne, held at the Institute for Advanced Study, Princeton, October 2005


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Conjectura de Poincaré – 1 um dos 7 problemas do milênio


Em 1904 o matemático francês Poincaré formulou a Conjectura de Poincaré.

Em 1960 o matemático americano Stephen Smale demonstrou a conjectura para espaços de dimensão maior ou igual a 7, e mais tarde para maior ou igual a 5. Em 1966 Smale recebeu a Fields Medal.

Em 1986 o matemático americano Michael Freedman recebeu a Fields Medal por ter demonstrado a conjectura para n=4.

O matemático americano Richard Hamilton deu varias contribuições no campo da geometria diferencial e descobriu o Fluxo de Ricci.

Hamilton sugeriu ao matemático russo Grigori Perelman que usasse o programa de Fluxo de Ricci para resolver a conjectura para n=3 (tridimensional).

Em 2002/2003, Perelman publicou a demonstração da conjectura para n=3, a unica que faltava.

Perelman recusou o premio de US$ 1 milhão e a Fields Medal em 2006. Em 2010 recusou de novo, alegando que sua contribuição para a solução da conjectura não era maior que a de Hamilton.


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A Conjectura de Poincaré é um dos 7 problemas do milênio, 6 ainda não foram resolvidos.


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Grigori Perelman


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Michael Freedman



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Richard Hamilton

A geometria plana ou geometria euclidiana foi criada pelo matemático Euclides de Alexandria

No século 19, começaram-se os estudos de geometrias não euclidiana ou geometrias de superfícies curvas.

A geometria hiperbólica (geometria da superfície de uma hiperbolóide) começou a ser estudada pelo matemático alemão Carl Gauss, seguido pelo russo Nikolai Lobachevski e pelo francês János Bolyai.


O matemático alemão Bernhard Riemann foi o precursor da geometria elíptica (geometria da superfície de uma elipsóide), que tem como caso particular mais famoso e importante a geometria esférica.

Como a Terra é uma superfície esférica, a geometria esférica é usada em navegação aérea, marítima e terrestre.

A geometria não euclidiana (geometria Riemanniana) é usada na teoria da relatividade, devido ao fato do espaço-tempo ser curvo. O espaço-tempo tem 4 dimensões (3 do espaço x, y e z e 1 de tempo t).



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A soma dos ângulos de um triangulo plano é 180º

A soma dos ângulos de um triangulo elíptico ou esférico > 180º

A soma dos ângulos de um triangulo hiperbólico < 180º



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Triangulo na Geometria Esférica, Geometria Hiperbólica e Geometria Plana



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Se 2 cidades estiverem próximas, pode-se usar a geometria plana para calcular distancias e areas no globo terrestre

Se as cidades estivem distantes, deve-se usar a geometria esférica



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Em 1995, a revista Annals of Mathematics publicou as mais de 100 paginas da demonstração do Ultimo Teorema de Fermat:


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Bibliografia usada por Sir Andrew Wiles durante os 7 anos em que se dedicou a encontrar a demonstração do Ultimo Teorema de Fermat:




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Esse site mostra um pequeno resumo dos maiores matemáticos que já existiram:


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A Espiral de Ulam e o Gênio de Euler



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Olhe para os pontos acima. Não são aleatórios, de fato representam um padrão de importância fundamental para a computação, a tecnologia e a economia mundial. E embutem um pequeno, ou enorme, mistério.

Primeiro, o mistério, que deve ser o mais curioso. Olhe de novo para os pontos acima. Consegue enxergar algum padrão, alguma característica que se destaque? Algo como… uma série de linhas diagonais? É esse o pequeno, ou enorme, mistério.

E então, o que a série representa. É uma Espiral de Ulam, criada pelo polonês Stanislaw que, entediado, rabiscou-a em um papel (isso ele fez nas horas vagas, durante o trabalho inventou a bomba de hidrogênio e a propulsão nuclear por pulsos, entre outras coisas).

O grafo representa a série de números primos como pontos em uma espiral começando com o número 1 no centro e desenrolando-se a partir daí:



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Ulam logo notou as diagonais que saltam tanto aos olhos, e surpreendeu-se, porque não se conhece qualquer razão trivial para tantas delas, que continuam ocorrendo mesmo quando a espiral é estendida a números incrivelmente grandes. Mistério.

Ou não? Você pode pensar a princípio que, como todos os números primos são ímpares — exceto o 2 –, é de se esperar que números primos adjacentes na espiral só o podem ser na diagonal. Na vertical e horizontal, números ímpares estão cercados por números pares. E estará certo ao pensar assim.

Contudo, números primos podem encontrar outros números primos a duas casas adjacentes em praticamente todas as direções. Também poderiam surgir padrões a partir daí, mas aparentemente, não é o que ocorre, pelo menos não de forma tão comum quanto as diagonais próximas.

Elas, por sua vez, se relacionam com uma curiosidade descoberta em sua forma inicial pelo prodígio Euler, de que o polinômio 4n^2 + bn + c gera uma grande quantidade de números primos a partir de números consecutivos. Por quê? Não há uma resposta clara para todas as soluções (para a de Euler, há um tanto), até porque — e este é o gigantesco mistério — não existe nenhuma forma trivial de gerar todos os números primos.

Os primos são um dos fundamentos da teoria de números e o pilar que permite a criptografia e, assim, a segurança de sistemas computacionais modernos. As chaves de segurança trocadas quando você usa o banco online só são seguras graças aos números primos. Há muitas curiosidades a respeito deles, e as diagonais na espiral de Ulam podem ser apenas mais uma, sem nenhuma razão em especial.

Ou não. Há diversas questões fundamentais em aberto na matemática, boa parte delas está relacionada com os primos e uma delas pode um dia explicar a espiral de Ulam. Em outras palavras, estas diagonais podem representar um padrão relacionado com alguma série de equações e termos que podem revolucionar a matemática, e quebrar todas as senhas de computador do mundo.

Seja como for, por enquanto já há pelo menos uma grande utilidade pública para a espiral. Com esta representação gráfica, qualquer um pode ver um padrão matemático que antes só era visível claramente a um prodígio fabulosamente extraordinário como Euler (como ele enxergou tal padrão, ninguém sabe).

Isso é tanto um atestado de nossa capacidade coletiva, como seres humanos, de reconhecer padrões — ver essas diagonais “saltando aos olhos” não é uma tarefa tão trivial — quanto nossa potencialidade individual fabulosa, representada aqui pelo gênio suíço. Para ele, não foi preciso desenhar.

Se isso por si só já não é fascinante, então apelemos para o “místico”. Arthur C. Clarke, anos antes de Ulam, descreveu o padrão diagonal nos primos. Mas o fez em sua obra de ficção científica, “A Cidade e as Estrelas”, sem jamais desenhar o padrão em si mesmo, sem nem mesmo desconfiar que o padrão de fato existia.

Perguntado muito depois sobre de onde havia saído aquele trecho presciente, Clarke respondeu que “depois de meio século eu não tenho idéia do que me fez pensar nisso“. Talvez nem Euler.


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Stanislaw Marcin Ulam (Polish spelling Stanisław Ułam, pronounced STAN-is-wah OO-wam), 13 April 1909 – 13 May 1984, was a renowned mathematician of Polish Jewish origin. He participated in America's Manhattan Project, originated the Teller–Ulam design of thermonuclear weapons, invented the Monte Carlo method of computation, and suggested nuclear pulse propulsion. In pure and applied mathematics, he produced many results, proved many theorems, and proposed several conjectures.


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Os números primos são fundamentais na criptografia de dados


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O Fascínio dos Números Primos


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Conjectura de Goldbach: todo numero par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos?



A Conjectura de Goldbach ainda não foi provada, mas em 1995 o matemático francês Olivier Ramaré realizou um grande avanço: demonstrou que todo número par é a soma de no maximo 6 números primos.


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Cojectura Fraca de Goldbach: Todo numero impar maior que 5 pode ser escrito como a soma de três números primos?






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Entrevista com Andrew Wiles


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Andrew Wiles - Mathematics


“Every subject generates its own legends, like the search for Atlantis, or the quest to translate ancient hieroglyphics,” says Andrew Wiles, professor of mathematics. “There's a romance and excitement around these kinds of problems. When they're solved, one can sense that history has moved forward.”

It's not surprising to hear Wiles speak in such romantic terms about abstract intellectual puzzles. He knows firsthand the thrill of discovery. In 1994, he stunned the world by announcing he had found a solution to Fermat’s Last Theorem, one of history’s most notorious mathematical problems.

For centuries, Fermat’s Last Theorem was, in a way, the lost Atlantis of math. Penned by French mathematician Pierre de Fermat in the 17th century, the theorem states that there is no non-zero solution in integers for the following equation: an + bn = cn (for n>2). During the centuries that followed, generations of mathematicians tried to supply a solution and failed.

Wiles came to the theorem as a schoolboy. “I saw it in a math book in the public library,” he recalls. “It was a simple question; even I could understand it at age 10.” The simplicity of the problem itself, however, was only part of the appeal. “I saw that a math problem could be part of a larger story, and I realized I wanted to be part of that story.”

Wiles continued to pursue the puzzle throughout high school and into his career as a professional mathematician. After toiling in secrecy for more than eight years, he unveiled a preliminary proof in 1993, only to realize his solution contained flaws. He continued to work on the problem with the assistance of a former student, and at last inspiration struck later in 1993.

“I was sitting at my desk when suddenly I had this incredible revelation,” he recalls. “It was so indescribably beautiful. It was so simple and elegant.”

The achievement made Wiles an instant celebrity, garnering him a variety of awards including the Shaw Prize, a MacArthur Foundation fellowship and a special honor from the International Mathematical Union.

Today, Wiles continues to ponder some of the most renowned puzzles of his field, but he's just as dedicated to training the next generation of aspiring mathematicians.

“In the mathematics department, we consider teaching to be an essential part of the experience,” he says. “All of our faculty members teach in the classroom.” He regularly teaches undergraduate and graduate courses, and he enjoys serving as a mentor on student theses. “Teaching makes you explain what you are doing and why,” he says. “Of course the students are the main beneficiaries but you also really learn as you teach.”

For Wiles, teaching also harks back to his start in mathematics when he read Fermat’s Last Theorem for the first time at age 10. “When you're teaching someone who is excited about the field, you re-experience that excitement,” he says. “It helps you remember why you were excited in the first place.”

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Teorema das quatro cores




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In mathematics, the four color theorem, or the four color map theorem states that, given any separation of a plane into contiguous regions, producing a figure called a map, no more than four colors are required to color the regions of the map so that no two adjacent regions have the same color. Two regions are called adjacent if they share a common boundary that is not a corner, where corners are the points shared by three or more regions.[1] For example, in the map of the United States of America, Utah and Arizona are adjacent, but Utah and New Mexico, which only share a point that also belongs to Arizona and Colorado, are not.

Despite the motivation from coloring political maps of countries, the theorem is not of particular interest to mapmakers. According to an article by the math historian Kenneth May (Wilson 2002, 2), “Maps utilizing only four colours are rare, and those that do usually require only three. Books on cartography and the history of mapmaking do not mention the four-color property.”

Three colors are adequate for simpler maps, but an additional fourth color is required for some maps, such as a map in which one region is surrounded by an odd number of other regions that touch each other in a cycle. The five color theorem, which has a short elementary proof, states that five colors suffice to color a map and was proven in the late 19th century (Heawood 1890); however, proving that four colors suffice turned out to be significantly harder. A number of false proofs and false counterexamples have appeared since the first statement of the four color theorem in 1852.

The four color theorem was proven in 1976 by Kenneth Appel and Wolfgang Haken. It was the first major theorem to be proved using a computer. Appel and Haken's approach started by showing that there is a particular set of 1,936 maps, each of which cannot be part of a smallest-sized counterexample to the four color theorem. Appel and Haken used a special-purpose computer program to confirm that each of these maps had this property. Additionally, any map (regardless of whether it is a counterexample or not) must have a portion that looks like one of these 1,936 maps. Showing this required hundreds of pages of hand analysis. Appel and Haken concluded that no smallest counterexamples existed because any must contain, yet not contain, one of these 1,936 maps. This contradiction means there are no counterexamples at all and that the theorem is therefore true. Initially, their proof was not accepted by all mathematicians because the computer-assisted proof was infeasible for a human to check by hand (Swart 1980). Since then the proof has gained wider acceptance, although doubts remain (Wilson 2002, 216–222).

To dispel remaining doubt about the Appel–Haken proof, a simpler proof using the same ideas and still relying on computers was published in 1997 by Robertson, Sanders, Seymour, and Thomas. Additionally in 2005, the theorem was proven by Georges Gonthier with general purpose theorem proving software.



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Example of a four-colored map




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A four-coloring of a map of the states of the United States (ignoring water and other countries).

O brilhante matemático britânico Alan Turing trabalhou no centro de inteligência britânica em Bletchley Park e teve um papel fundamental na WWII: liderou a equipe que decifrou as maquinas de criptografia alemães, entre elas a famosa Enigma

Alan Turing deu importantes contribuições a ciência da computação, sendo considerado um dos pais da computação



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Alan Mathison Turing, OBE, FRS ( /ˈtjʊərɪŋ/ TEWR-ing; 23 June 1912 – 7 June 1954), was an English mathematician, logician, cryptanalyst, and computer scientist. He was highly influential in the development of computer science, giving a formalisation of the concepts of "algorithm" and "computation" with the Turing machine, which can be considered a model of a general purpose computer.[1][2][3] Turing is widely considered to be the father of computer science and artificial intelligence.[4]

During World War II, Turing worked for the Government Code and Cypher School (GCCS) at Bletchley Park, Britain's codebreaking centre. For a time he was head of Hut 8, the section responsible for German naval cryptanalysis. He devised a number of techniques for breaking German ciphers, including the method of the bombe, an electromechanical machine that could find settings for the Enigma machine.

After the war he worked at the National Physical Laboratory, where he created one of the first designs for a stored-program computer, the ACE. In 1948 Turing joined Max Newman's Computing Laboratory at Manchester University, where he assisted in the development of the Manchester computers[5] and became interested in mathematical biology. He wrote a paper on the chemical basis of morphogenesis, and predicted oscillating chemical reactions such as the Belousov–Zhabotinsky reaction, which were first observed in the 1960s.

Turing's homosexuality resulted in a criminal prosecution in 1952, when homosexual acts were still illegal in the United Kingdom. He accepted treatment with female hormones (chemical castration) as an alternative to prison. Turing died in 1954, just over two weeks before his 42nd birthday, from cyanide poisoning. An inquest determined that his death was suicide; his mother and some others believed his death was accidental. On 10 September 2009, following an Internet campaign, British Prime Minister Gordon Brown made an official public apology on behalf of the British government for "the appalling way he was treated". As of May 2012 a private member's bill was before the House of Lords which would grant Turing a statutory pardon if enacted.


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O enigma foi desenvolvida pelo engenheiro eletricista alemão Arthur Scherbius

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[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]Heinz Guderian in the Battle of France with the Enigma machine


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Colossus was the world's first electronic, digital, computer that was at all programmable. Colossus and its successors were used by British codebreakers to help read encrypted German messages during World War II. They used thermionic valves (vacuum tubes) to perform the calculations.


Colossus was designed by engineer Tommy Flowers with input from Sidney Broadhurst, William Chandler, Allen Coombs and Harry Fensom,[1] at the Post Office Research Station, located at Dollis Hill, to solve a problem posed by mathematician Max Newman at Bletchley Park. The prototype, Colossus Mark 1, was shown to be working in December 1943 and was operational at Bletchley Park by 5 February 1944.[2] An improved Colossus Mark 2 first worked on 1 June 1944,[3] just in time for the Normandy Landings. Ten Colossus computers were in use by the end of the war.

The Colossus computers were used to help decipher teleprinter messages which had been encrypted using the Lorenz SZ40/42 machine—British codebreakers referred to encrypted German teleprinter traffic as "Fish" and called the SZ40/42 machine and its traffic "Tunny". Colossus compared two data streams, counting each match based on a programmable Boolean function. The encrypted message was read at high speed from a paper tape. The other stream was generated internally, and was an electronic simulation of the Lorenz machine at various trial settings. If the match count for a setting was above a certain threshold, it would be sent as output to an electric typewriter.

The Colossus was used to find possible key combinations for the Lorenz machines – rather than decrypting an intercepted message in its entirety. For more information see Cryptanalysis of the Lorenz cipher.

In spite of the destruction of most of the Colossus hardware and blueprints as part of the effort to maintain a project secrecy that was kept up into the 1970s—a secrecy that deprived some of the Colossus creators of credit for their pioneering advancements in electronic digital computing during their lifetimes—a functional replica of a Colossus computer was completed in 2007.


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[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]In 1994, a team led by Tony Sale (right) began a reconstruction of a Colossus at Bletchley Park. Here, in 2006, Sale supervises the breaking of an enciphered message with the completed machine.


[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]Colossus rebuild seen from the rear

O engenheiro eletricista e matemático americano Claude Elwood Shannon publicou em 1948 o "A Mathematical Theory of Communication" e é o pai da teoria da informação


Claude Elwood Shannon (April 30, 1916 – February 24, 2001) was an American mathematician, electronic engineer, and cryptographer known as "the father of information theory".

Shannon is famous for having founded information theory with one landmark paper published in 1948. But he is also credited with founding both digital computer and digital circuit design theory in 1937, when, as a 21-year-old masters student at MIT, he wrote a thesis demonstrating that electrical application of Boolean algebra could construct and resolve any logical, numerical relationship. It has been claimed that this was the most important master's thesis of all time. Shannon contributed to the field of cryptanalysis during World War II and afterwards, including basic work on code breaking.


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Teoria matemática da informação


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Information theory is a branch of applied mathematics, electrical engineering, and computer science involving the quantification of information. Information theory was developed by Claude E. Shannon to find fundamental limits on signal processing operations such as compressing data and on reliably storing and communicating data. Since its inception it has broadened to find applications in many other areas, including statistical inference, natural language processing, cryptography generally, networks other than communication networks—as in neurobiology, the evolution and function of molecular codes, model selection in ecology, thermal physics, quantum computing, plagiarism detection and other forms of data analysis.

Conhecimento Perigoso


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cantor-boltzmann-godel-turing

10 equações que mudaram o mundo




10 - "black scholes model" - equação financeira

9 - teorema de pitágoras

8- equação de Fourier - não entendi o que é isso, mas é usado em várias coisas, desde compressão até análise molecular.

7- teorema fundamental do cálculo

6- fórmula de Euler do poliedro

5- lei universal da gravidade

4- Equações de Maxwell (eletromagnetismo)

3- segunda lei da termodinâmica

2- Equação de Schrodinger (mecânica quântica)

1- E = mc^2 - relação entre massa e energia / velocidade da luz.

Matematicos provam que superar a velocidade da luz é matematicamente possível, apesar de fisicamente impossivel



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Este gráfico mostra a relação entre três diferentes velocidades: v, u e U. "v" é velocidade de um segundo observador medida pelo primeiro observador; "u" é a velocidade de uma partícula em movimento medida pelo segundo observador; e "U" é a velocidade relativa da partícula do ponto de vista do primeiro observador.[Imagem: Hill/Cox]


Velocidade superluminal

Matematicamente - e, por enquanto, apenas matematicamente - é possível fazer com que a Teoria da Relatividade Especial de Einstein funcione além da velocidade da luz.

É o que demonstraram James Hill e Barry Cox, da Universidade de Adelaide, na Austrália.

Embora a teoria de Einstein afirme que nada possa se mover mais rápido do que a velocidade da luz, os dois matemáticos desenvolveram novas fórmulas que permitem quebrar esse limite universal de velocidade.

"Nós somos matemáticos, não físicos, por isso abordamos o problema de uma perspectiva teórica matemática," disse o Dr. Cox. "Nosso trabalho não tenta explicar como isso pode ser feito, apenas como as equações de movimento devem operar em tais regimes."

Isso significa que, se alguém imaginar uma maneira de viajar a uma velocidade superior à da luz, o intrépido viajante agora já poderá contar com um velocímetro confiável.

O que os dois pesquisadores ressaltam é que sua teoria não contradiz a teoria de Einstein, apenas lhe fornece uma nova faceta.

Além de Einstein

Apesar do enorme sucesso explicativo da teoria da relatividade, os físicos costumam ficar incomodados em estabelecer limitações para qualquer coisa no Universo.

Assim, tem havido muita especulação sobre a superação da velocidade da luz.

O mundo científico levou um susto há alguns meses, quando um experimento parecia indicar que neutrinos podiam ter viajado mais rapidamente do que a luz, algo que se deveu na verdade a defeitos no experimento.

Segundo o Dr. Cox, foi isso que os levou a pensar sobre como deveriam ser as equações se algum resultado experimental decidir negar a teoria de Einstein.

"Nessa altura nós começamos a pensar sobre como lidar com o problema de uma perspectiva matemática e física," disse ele.

Extensão natural

A Teoria da Relatividade Especial de Einstein foi publicada em 1905 e explica como movimento e velocidade são sempre relativos ao quadro de referência do observador.

A teoria conecta medições do mesmo incidente físico quando o acontecimento é visto a partir de pontos diferentes, de uma maneira que depende da velocidade relativa dos dois observadores.

As novas fórmulas agora deduzidas pelos dois matemáticos estendem a Relatividade Especial para uma situação em que a velocidade relativa pode ser infinita.

Isso permite que elas sejam usadas para descrever o movimento a velocidades mais rápidas do que a luz, as chamadas velocidades superluminais.

"Nossa abordagem é uma extensão natural e lógica da Teoria da Relatividade Especial de Einstein, e produziu fórmulas sem a necessidade de números imaginários ou física complicada," acrescentou o pesquisador.


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Peruano resolve problema matemático indecifrável havia 271 anos
Pesquisador comprovou a conjectura fraca de Goldbach, considerada um dos problemas matemáticos mais difíceis da história




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O matemático peruano Harald Andrés Helfgott conseguiu demonstrar a conjectura fraca de Goldbach, um problema da teoria dos números que ninguém havia conseguido resolver desde que foi proposta, em 1742. O responsável pela façanha tem 35 anos e vive em Paris, onde trabalha para o Centro Nacional para a Pesquisa Científica (CNRS, na sigla em francês). A conjectura afirma que "todo número ímpar maior que 5 pode ser expresso como soma de três números primos".

O problema, proposto por Christian Goldbach há 271 anos, se converteu em dor de cabeça para os melhores matemáticos dos últimos três séculos. Desde 1923, com o esforço de nomes como G. H. Hardy e John Edensor Littlewood, foram obtidos avanços importantes para a comprovação da conjectura, porém ela ainda não havia sido demonstrada de maneira incondicional. Em 1937, o teorema de Vinogradov mostrou que qualquer número ímpar suficientemente grande pode ser representado como a soma de três números primos. A definição de "suficientemente grande", porém, ficou pendente.

Helfgott publicou, em 2012 e neste ano, dois trabalhos acadêmicos reivindicando a melhoria das estimações dos arcos maiores e menores - o suficiente para demonstrar definitivamente a conjectura fraca de Goldbach. O estudo pode ser consultado, em inglês, neste link [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]

No entanto, essa pesquisa dificilmente contribuirá para a comprovação da conjectura "forte" de Goldbach - um dos problemas mais antigos não resolvidos da matemática e considerada por muitos o problema mais difícil da história dessa ciência. De acordo com o próprio Helfgott, a conjetura de Goldbach "pode não ser resolvida nas nossas vidas". A versão forte postula que todo número par maior que 2 pode ser expressado pela soma de dois primos.

O matemático peruano estudou nas prestigiadas universidades americanas de Princeton e Yale e recebeu diversos prêmios por suas contribuições à matemática.

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Show do milhão da matemática: veja os problemas mais difíceis do mundo


Ser matemático e milionário no Brasil parece uma ideia paradoxal. Mas, se você realmente entender de matemática, talvez consiga. O Clay Mathematics Institute lançou, em 2000, um desafio: quem resolver um dos sete "problemas do milênio" ganha o prêmio de US$ 1 milhão. Ao todo, foram US$ 7 milhões destinados aos matemáticos que se atreveram a solucionar os teoremas e questões propostos pela entidade. "São equações muito abstratas, é bem difícil até de entendê-las", comenta Pedro Luiz Aparecido Malagutti, professor do departamento de matemática da Universidade Federal de São Carlos (Ufscar).





Hipótese de Poincaré - resolvido em 2010


Vamos começar pelo que já foi resolvido, para mostrar que eles não são tão impossíveis assim. A Hipótese de Poincaré, proposta pelo matemático francês Henri Poincaré, exige um esforço de imaginação enorme. O cérebro humano só consegue perceber três dimensões, representadas por profundidade, largura e comprimento. No entanto, sabe-se que existem outras dimensões, e isso é provado matematicamente. Acontece que a Hipótese de Poincaré, conhecida como problema da laranja na quarta dimensão, deixa justamente essa dimensão de fora.

Imagine uma laranja ou mesmo o planeta Terra. Um ponto na parte superior da laranja, ou o polo da Terra, pode ser ligado a qualquer ponto da superfície por um único meridiano. Além disso, todos esses meridianos se cruzam apenas em um único outro ponto, que seria o Polo Sul. Com objetos que têm três dimensões, como é o caso da laranja, não é difícil. Mas a topologia, ramo da matemática criada por Poincaré, trabalha com objetos de n dimensões. O modelo proposto pelo matemático servia para qualquer número de n, exceto o quatro. Até que, em 2010, o Instituto Clay anunciou que a solução havia sido encontrada pelo russo Grigory Perelman, que se recusou a receber o prêmio de US$ 1 milhão.




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Hipótese de Riemann

Provar que uma fórmula está incorreta é até fácil. O desafio, aqui, é provar que ela está totalmente correta. O alemão Georg Bernhard Riemmann acreditou ter finalmente descoberto a fórmula matemática para se descobrir os números primos - aqueles que só podem ser divididos por um ou por eles mesmos. Essa sequência sempre desafiou os matemáticos, porque não parece haver lógica nessa sequência. Ou não parecia, até Riemmann propor sua hipótese.

A questão é que não se encontrou um meio de provar sua correção senão submetendo cada número ao teste. Isso já foi feito com os primeiros 1,5 bilhão de números e continua correta, mas ainda é pouco para se provar que ela é totalmente verdadeira. Quem conseguir provar que a hipótese é mesmo verdadeira ou está totalmente errada - lembre-se, basta que um dos números não encaixe - vence o desafio da hipótese de Riemmann.



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P = NP

Igualmente sem uma resposta está a simples pergunta 'P=NP está correto?'. Na prática, a tarefa pode ser traduzida pela atividade proposta pelo Instituto Clay: você precisa organizar as acomodações de um grupo de 400 estudantes universitários, mas apenas 100 estudantes receberão lugares no dormitório, pois não há espaço para todos. Para complicar, o reitor lhe forneceu uma lista de pares de estudantes que não podem ficar juntos. Diz o regulamento do prêmio do milênio: 'este é um exemplo que os cientistas denominam uma NP-problema, uma vez que é fácil verificar se uma dada escolha de 100 estudantes proposta é satisfatória (isto é, verificar se nenhum par da lista pronta aparece na lista do reitor), porém a tarefa de gerar uma lista desse tipo a partir do zero parece ser tão difícil quanto completamente impraticável'. Ou seja, é possível checar uma lista por uma, mas não se chegou a um cálculo que garanta que o resultado final contemple os dois critérios.

Quem resolver esse problema, afirma Pedro Luiz Aparecido Malagutti, professor do departamento de matemática da Universidade Federal de São Carlos (Ufscar), ganhará muito mais de US$ 1 milhão, já que provavelmente conseguirá quebrar todos os sistemas de segurança dos agentes financeiros mundiais, incluindo os maiores bancos internacionais, já que esses programas são baseados em problemas NP=P.


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Equações de Navier-Stokes

Entender o movimento dos fluidos nunca foi uma tarefa fácil. Claude Navier e George Stokes, no século 19, bem que tentaram, mas as equações deixadas por eles só confundem ainda mais os pesquisadores. O desafio que vale US$ 1 milhão, afirma o Instituto Clay, é fazer progressos substanciais em direção a uma teoria matemática que irá desvendar os segredos escondidos nas equações de Navier-Stokes, que tentam explicar as ondas de um lago e as correntes de ar ao redor de um avião.

Apresentados no Collège de France, em Paris, onde quase cem anos antes o matemático alemão David Hilbert havia feito semelhante proposta, questionando seus colegas com 23 casos insolúveis, os sete problemas desafiam a matemática contemporânea. Dos sete, apenas um já foi solucionado e, como prometido, o prêmio foi amplamente anunciado. O ganhador, no entanto, recusou-se a recebê-lo. Conheça os sete problemas mais difíceis da matemática no século 21:



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Conjectura de Hodge

Para entender formas geométricas mais complicadas, uma boa saída é aproximá-las a formas mais simples. Essa ideia é tão útil que foi utilizada em larga escala e chegou ao ponto de se perder a noção de construção geométrica.

Baseado nessa teoria, o americano William Vallance Douglas Hodge afirmou, em 1950, que as equações capazes de descrever formatos cíclicos em várias dimensões são combinações de formas geométricas mais simples, similares a curvas. Prove que ele estava correto (ou não) e ganhe US$ 1milhão.



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Teoria de Yang-Mills

A matemática e a física sempre andam lado a lado. Esta se vale daquela para explicar os fenômenos descobertos. No entanto, o casamento não deu totalmente certo. Parte da física quântica, descrita por Yang e Mills, não é sustentada por nenhuma teoria matemática conhecida.

Yang e Mills introduziram um quadro novo notável para descrever as partículas elementares usando estruturas que também ocorrem em geometria. Tal teoria foi testada em vários laboratórios experimentais, mas a sua fundação matemática ainda é incerta. Quem descobrir uma teoria matemática que sustente a teoria física será o mais novo milionário do mundo.



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Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

Partindo do Teorema de Fermat, que afirma que a soma de um número inteiro qualquer elevado à enésima potência com outro número qualquer elevado à mesma potência dá como resultado um terceiro número elevado à mesma potência (ou, se você preferir: xn + yn = zn) só tem resultado se n for igual a dois.

Para qualquer outro número de n, a equação não é solucionável, exceto para casos especiais. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer tenta justamente estabelecer essas exceções.



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As 11 mais belas equações Físicas e Matemáticas


Equações matemáticas não são apenas úteis – também podem ter uma beleza própria. Muitos cientistas admitem ter preferência por uma ou outra fórmula não só por causa da função, mas pela sua forma, e as verdades simples e poéticas que contém.

Algumas equações, como E=mc² de Einstein, roubam as luzes dos holofotes, mas existem equações menos famosas que têm mais apelo entre cientistas. O LiveScience perguntou a físicos, astrônomos e matemáticos quais suas equações favoritas, e o resultado pode ser conferido a seguir:


11. Equação da Relatividade


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A equação acima foi formulada por Albert Einstein como parte da revolucionária Teoria Geral da Relatividade, em 1915. A teoria mudou a forma como os cientistas entendem a gravidade, ao descrever a força como sendo uma deformação no tecido do espaço-tempo.

O astrofísico Mario Livio, do Space Telescope Science Institute, que escolheu esta equação como sua favorita, aponta que toda a genialidade de Einstein está nela.

“O lado direito da equação descreve o conteúdo de energia do nosso universo, incluindo a energia escura que descreve a aceleração cósmica, e o lado esquerdo descreve a geometria do espaço-tempo. A igualdade reflete o fato que na relatividade geral de Einstein, a massa e energia determinam a geometria, e concomitantemente a curvatura, que é uma manifestação do que chamamos gravidade”, diz Livio.

Kyle Cranmer, físico da Universidade Nova Iorque (EUA), acrescenta que a equação revela a relação entre espaço-tempo, matéria e energia. “Esta equação diz como tudo está relacionado – como a presença do sol deforma o espaço-tempo de forma que a Terra se mova em torno do mesmo em uma órbita, etc. Também diz como o universo evoluiu desde o Big Bang e prediz que devem haver buracos negros nele”.



10. O modelo padrão


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Uma das teorias dominantes da física, o modelo padrão descreve a coleção de partículas fundamentais que se acredita fazerem nosso universo.

A teoria pode ser resumida em uma equação chamado modelo padrão lagrangiano (em homenagem a Joseph Louis Lagrange, um matemático e astrônomo francês do século 18), que foi escolhida pelo físico teórico Lance Dixon no Laboratório Acelerador Nacional SLAC na Califórnia (EUA) como sua equação favorita.

“Ela tem descrito com sucesso todas as partículas elementares e forças que temos observados no laboratório até hoje – exceto a gravidade, e isto inclui, é claro, o bóson de Higgs recentemente descoberto, que é o phi na fórmula. Ela é consistente com a mecânica quântica e a relatividade especial”, disse Dixon.

A teoria do modelo padrão ainda não foi unificada com a relatividade geral, e esta é a razão dela não descrever a gravidade.



9. O Cálculo



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As equações anteriores descrevem aspectos particulares do universo, mas esta pode ser aplicada a todas as situações. Trata-se do teorema fundamental do cálculo, é o fundamento do método matemático conhecido como cálculo, e une duas ideias: o conceito de integral e o conceito de derivada.

“Em termos simples, ela diz que a mudança geral de uma quantidade contínua, como a distância percorrida, sobre um determinado intervalo, é igual à integral da taxa de mudança daquela quantidade, ou seja, a integral da velocidade”, aponta Melkana Brakalova-Trevithick, chefe do departamento de matemática da Universidade Fordham (EUA), que escolheu esta equação como sua favorita. “O teorema fundamental do cálculo permite que a gente determine a alteração geral sobre um intervalo baseado na taxa de mudança sobre o intervalo inteiro”, diz.

As sementes do cálculo vêm de tempos antigos, mas a maior parte dele foi apresentado no século 17 por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz (independentemente). Newton usou o cálculo para descrever o movimento dos planetas em torno do sol e Leibniz criou o cálculo para descobrir a área de gráficos de funções (por exemplo, calcular a área delimitada pela linha representada pela função seno e o eixo das abscissas, ou “x”).



8. Teorema de Pitágoras



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O velho e conhecido teorema de Pitágoras, que todo estudante aprende, aponta que, para qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa (o lado maior) é igual à soma dos quadrados do comprimento dos outros dois lados.

“O primeiro fato matemático que me maravilhou foi o teorema de Pitágoras”, disse a matemática Daina Taimina, da Universidade Cornell (EUA). “Eu era uma criança e me parecia tão incrível que ele funcionava na geometria e funcionava com números!”.




7. Equação de Euler



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Esta equação simples captura um fato puro sobre a natureza das esferas. “Ela diz que, se você cortar a superfície de uma esfera em faces, arestas e vértices, e chamar de F o número de faces, E o número de arestas, e V o número de vértices, você sempre vai ter V -E + F = 2″, diz Colin Adams, um matemático no Williams College, em Massachusetts (EUA).

“Por exemplo, pegue um tetraedro, consistindo de quatro triângulos, seis arestas e quatro vértices”, explica Adams, “se você soprar com força dentro de um tetraedro com faces flexíveis, você vai curvá-lo em uma esfera, ou seja, de certa forma, uma esfera pode ser cortada em quatro faces, seis arestas, e quatro vértices. E podemos ver que V – E + F = 2. O mesmo vale para uma pirâmide com cinco faces, quatro triangulares e uma quadrada – oito arestas e cinco vértices -, e muitas outras combinações de faces, arestas e vértices”.


6. Relatividade Especial



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Einstein de novo aparece na nossa lista, desta vez com a fórmula da relatividade especial, que descreve como o tempo e o espaço não são conceitos absolutos, mas relativos, dependendo da velocidade do observador. A equação acima mostra como o tempo dilata, ou contrai, conforme uma pessoa se move mais rápido em qualquer direção.

“O ponto é que ela é realmente muito simples”, diz Bill Murray, um físico de partículas no laboratório CERN, em Genebra. “Não tem nada aí que um estudante não consiga fazer, não tem derivadas complexas, nem álgebra linear. Mas o que ela incorpora é uma forma totalmente nova de ver o mundo, uma atitude em relação à realidade e nosso relacionamento com ela. Subitamente, o cosmos rígido e imutável é varrido para longe e substituído por um mundo pessoal, relacionado com o que você observa. Você se move de uma posição de fora do universo, olhando para baixo, para ser um dos componentes dentro dele. Mas os conceitos e a matemática podem ser compreendidos por qualquer um que queira”, explica.

Murray disse que preferia as equações da relatividade especial às equações mais complicadas da outra teoria de Einstein. “Eu nunca consegui seguir a matemática da relatividade geral”, conta.


5. 1 = 0,9999999….



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Esta equação simples, que declara que a quantidade 0,999, seguida por uma sequência infinita de noves, é igual a um, é a equação favorita do matemático Steven Strogatz, da Universidade Cornell.

“Eu adoro como ela é simples – todo mundo entende o que ela diz – e como é provocativa”, diz Strogatz. “Muitas pessoas não acreditam que isto possa ser verdadeiro. É também lindamente equilibrada. O lado esquerdo representa o início da matemática, o lado direito representa os mistérios do infinito”, comenta.


4. Equações Euler-Lagrange e teorema de Noether



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Cranmer, da Universidade Nova Iorque, aponta que estas são equações bastante abstratas, mas extremamente poderosas. “O legal é que esta maneira de pensar sobre física tem sobrevivido a grandes revoluções da área, como a mecânica quântica, a relatividade, etc”.

Nesta equação, o L vem de “lagrangiana”, que é uma medida de energia em um sistema físico, como molas, alavancas ou partículas fundamentais. “Resolver esta equação te diz como o sistema vai evoluir com o tempo”, diz Cranmer.

Uma derivação da equação lagrangiana é chamada de teorema de Noether, em homenagem à matemática alemã do século 20, Emmy Noether. Segundo Cranmer, o teorema é fundamental para a física e mostra a importância da simetria. “Informalmente, o teorema diz que se o seu sistema tem uma simetria, então há uma lei de conservação correspondente. Por exemplo, a ideia que as leis fundamentais da física são todas as mesmas hoje e amanhã (simetria temporal) implica que a energia é conservada. A ideia que as leis da física são as mesmas aqui e no espaço exterior implicam que o momento é conservado. A simetria é talvez o conceito motriz da física fundamental, principalmente devido à contribuição de Noether”, conclui.



3. Equação Callan-Symanzik



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“A equação de Callan-Symanzik é uma equação vital dos primeiros princípios a partir de 1970, essencial para descrever como expectativas ingênuas falham em um mundo quântico”, explica o físico teórico Matt Strassler, da Universidade Rutgers (EUA).

É uma equação com numerosas aplicações, entre elas permitir aos físicos estimar a massa e o tamanho do próton e do nêutron, que fazem parte do núcleo dos átomos.

A físcia básica diz que a força gravitacional e a força elétrica entre dois objetos é proporcional ao inverso do quadrado da distância entre eles. Em um nível básico, o mesmo é verdadeiro para a força nuclear forte, que mantém unidos prótons e nêutrons no núcleo atômico, e mantém os quarks juntos para formar prótons e nêutrons. Entretanto, minúsculas flutuações quânticas podem alterar a dependência que a força tem da distância, o que tem consequências dramáticas com a força nuclear forte.

“Ela impede que esta força diminua em grandes distâncias, e faz com que ela prenda quarks e combine-os para formar prótons e nêutrons no nosso mundo”, aponta Strassler. “O que a equação Callan-Symanzik faz é relacionar este efeito dramático e difícil de calcular, importante quando a distância é próxima do tamanho de um próton, para efeitos mais sutis mas fáceis de calcular, que podem ser medidos quando a distância é muito menor que um próton”.



2. Equação da superfície mínima




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A equação da superfície mínima codifica as belas bolhas de sabão que formam em estruturas de arame quando você as mergulha em água com sabão, aponta o matemático Frank Morgan, do Williams College. “O fato que a equação é ‘não linear’, envolvendo potências e produtos de derivadas, é a dica codificada de forma matemática para o comportamento surpreendente das películas de sabão. Contraste esta equação com equações diferenciais parciais lineares mais familiares, como a equação do calor, a equação da onda, e a equação de Shrödinger para a física quântica”.



1. A reta de Euler




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Glen Whitney, fundador do Museu da Matemática em Nova Iorque, escolheu outro teorema geométrico, um que tem a ver com a linha de Euler, que recebeu este nome em homenagem ao matemático e físico suíço do século 18, Leonhard Euler.

“Comece com qualquer triângulo, desenhe o menor círculo que contenha o triângulo e encontre seu centro. Encontre o centro de massa do triângulo – o ponto onde o triângulo, se fosse cortado em uma folha de papel, se equilibraria sobre a ponta de um alfinete. Desenhe as três alturas do triângulo (as linhas que partem de cada canto, perpendiculares ao lado oposto), e encontre o ponto em que elas se encontram. O teorema afirma que todos os três pontos que você encontrou sempre estão sobre uma única linha reta, chamada de ‘reta de Euler‘ do triângulo”, explica Whitney.

Segundo Whitney, o teorema esconde a beleza e o poder da matemática, que geralmente revela padrões surpreendentes em formas familiares e simples.[hypescience]


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TOP 10: Os matemáticos mais importantes da história





10- RENÉ DESCARTES

NACIONALIDADE Francês

GRANDE FEITO Criou a geometria analítica no século 17

Responsável por representar os números naquele gráfico com eixos x e y, batizado de cartesiano em sua homenagem. A geometria analítica revolucionou a matemática, tornando mais fácil "enxergar" relações entre números e compreender conceitos abstratos. Descartes morreu de pneumonia no castelo da rainha Cristina da Suécia, que o contratou como professor de filosofia.





9- HENRI POINCARÉ

NACIONALIDADE Francês

GRANDE FEITO Inventou a topologia algébrica no século 19

A partir dele, passou-se a classificar sólidos imaginários como cubos, esferas e cones por meio de teoremas. Com a topologia algébrica, é possível demonstrar, por exemplo, como uma caneca é a deformação da metade de um aro - seja lá o que isso quer dizer... A conjectura (hipótese não comprovada) que ele propôs em 1904 só foi resolvida em 2006.





8- EUCLIDES

NACIONALIDADE Grego

GRANDE FEITO Fundamentou a geometria no século 3 a.C.

Seu livro Elementos, com os fundamentos da geometria clássica, ainda é leitura obrigatória entre os matemáticos. Na obra de 23 séculos atrás estão compilados seus axiomas - verdades lógicas que valem até hoje. Um exemplo de axioma é "pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos". A obra- prima de Euclides é o segundo livro mais traduzido da história, atrás apenas da Bíblia.





7- AL-KHWARIZMI

NACIONALIDADE Persa

GRANDE FEITO Criou bases teóricas para a álgebra moderna no século 8

Ele fundamentou a matemática ocidental. Sua obra descreve métodos para resolver equações lineares e quadráticas, como ensinam na escola até hoje. O italiano Fibonacci levou os ensinamentos de Khwarizmi para a Europa, propagando o uso de numerais arábicos e dos algarismos de 0 a 9 para representá-los.





6- ARQUIMEDES

NACIONALIDADE Grego

GRANDE FEITO Aplicou a geometria na prática no século 3 a.C.

O principal matemático da Antiguidade uniu o mundo abstrato dos números com o mundo real. É considerado pai da mecânica por estudar forças, alavancas e densidade de materiais. Foi o primeiro

a notar a relação constante entre o diâmetro e o raio de qualquer circunferência: o número π (pi). Arquimedes também era inventor. Entre seus trabalhos estão o parafuso de Arquimedes, usado para tirar água de dentro de navios, e o aperfeiçoamento da catapulta.





5- ISAAC NEWTON

NACIONALIDADE Inglês

GRANDE FEITO Criou o cálculo no século 17

Responsável por avanços científicos que mudaram a humanidade, como a lei da gravitação universal, Newton também era um matemático notável, considerado um dos inventores do cálculo - disciplina avançada da matemática, ensinada em cursos superiores específicos. Sem o cálculo seria impossível medir precisamente o volume de objetos curvos ou calcular a velocidade de objetos em aceleração.





4- GOTTFRIED LEIBNIZ

NACIONALIDADE Alemão

GRANDE FEITO Criou o cálculo no século 17

Não era popular como Newton, mas quem o conheceu compara seu gênio ao de Da Vinci. Leibniz aprofundou o conceito de grandezas infinitesimais, ou seja, infinitamente pequenas - que pelo nome podem até não parecer, mas são muito relevantes na matemática. Newton acusou Leibniz de plágio, mas ficou comprovado que ambos desenvolveram estudos sobre o cálculo ao mesmo tempo, chegando às mesmas conclusões





3- ÉVARISTE GALOIS

NACIONALIDADE Francês

GRANDE FEITO Criou as estruturas algébricas no século 19

Rebelde e genial, é o único grande matemático cuja obra não tem erros, talvez por ser muito curta. Seu principal trabalho foi em polinômios e estruturas algébricas, o que o levou a solucionar problemas matemáticos em aberto desde a Antiguidade. Especialistas acreditam que se não tivesse morrido aos 21 anos - em um duelo -, seria o número um da nossa lista.





2- CARL GAUSS

NACIONALIDADE Alemão

GRANDE FEITO Mais completo matemático da primeira metade do século 19

O "príncipe dos matemáticos" publicou, aos 21 anos, sua obra-prima sobre teoria dos números. Morreu aos 77 anos como o maior generalista da matemática, contribuindo em áreas como estatística, análise, geometria diferencial e geodésia, para citar poucas. A extinta nota de dez marcos alemã trazia um retrato do matemático com uma de suas "invenções": a curva de Gauss, que sempre aparece em gráficos estatísticos.





1- LEONHARD EULER

NACIONALIDADE Suíço

GRANDE FEITO Revolucionou quase toda a matemática no século 18

Seus quase 800 livros fundamentaram campos que seriam estudados futuramente, como topologia, e revolucionou quase todos os que já estavam em voga, como cálculo e funções. Ao solucionar um problema que envolvia sete pontes que ligavam duas ilhas na cidade de Königsberg, antiga Prússia, fundou a teoria dos grafos, que possibilitou o surgimento da topologia e é usada hoje, por exemplo, para montar as tabelas do Campeonato Brasileiro! Euler ficou cego aos 50 anos e passou a ditar seus textos ao filho. Muitos matemáticos avaliam que seu trabalho ficou mais rico após perder a visão. - O matemático francês François Arago declarou que Euler calculava sem esforço, "como os homens respiram e as águias mantêm-se no ar".





CONSULTORIA Sérgio Roberto Nobre, professor e coordenador do Grupo de Pesquisa da História da Matemática do departamento de Matemática da Unesp (Rio Claro) FONTES [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar este link]